domingo, 23 de diciembre de 2012

LOS CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS



FRAGMENTO DE MIS MEMORIAS DE INFANCIA PARA EL EBOOK EN PREPARACIÓN: “HACIA LA CREATIVIDAD CUÁNTICA”

Los días lluviosos de finales del verano y principios del otoño, me llenaban de cierta sensación melancólica, que yo aprovechaba para releer los apuntes de la historia de las matemáticas que había hecho en la librería. Una húmeda y calurosa tarde me había propuesto construir con cartulina de colores los cinco sólidos platónicos (fig. 1). Tracé en un cartoncillo el patrón de cada una de las figuras, las recorté y las pegué uniendo cuidadosamente los bordes. Me parecieron tan hermosas, que las guardé en la caja de los caracoles, de vez en cuando las sacaba del estuche y alineaba los poliedros de cartón sobre la mesa donde solía hacer mi tarea.

 

Fig. 1

Mi figura favorita era el tetraedro, seguramente porque el triángulo al igual que los números triangulares me cautivaban. Un día descubrí que sumando los dígitos de cualquier número de la serie triangular, sumaban siempre: 1, 3, 6, o 9. Y más tarde descubrí que el nueve era un número maravilloso. ¿Pero que número no es maravilloso? Desde sus inicios los primeros sistemas de numeración, cuando los hombres empezaron a contar con los dedos, con piedras, o marcas de madera, puntos o rayas, crearon una numeración de representación muy simple. Pero el conocimiento y el pensamiento humano en constante desarrollo y perfeccionamiento evolutivo, habría más tarde de dar lugar al sistema de numeración egipcio, maya, griego, romano, indoarábigo etc. Cada uno con sus valiosas aportaciones para el entendimiento y comprensión de nuestro entorno y nuestro propio universo.

Cuando era niña me atrapaban esos símbolos que veía en las ilustraciones de mis libros favoritos. Y cuando todo parecía ya no poder sorprenderme más, con el paso de los años, aparecieron los sistemas de numeración binario, donde cualquier número del universo puede escribirse con tan sólo dos números: el 1 y el 0. La informática y la electrónica le darían un nuevo contexto a las matemáticas del siglo XXI, donde toda la información que se emite y se recibe a través de las computadoras cada día, es simplemente mediante “ceros” y “unos” que son transformados en imágenes, sonidos o en algún formato digital. Y a todo esto, cabe la pena preguntarse: ¿Cuánto durará la era digital? Tal vez el código cuántico esté frente a nosotros, esperando sorprendernos aún más.

Pero a mis doce años la vida transcurría lentamente, y yo tenía todo el tiempo del mundo para interpretar a mi ingenua manera, una microscópica parte de la historia del conocimiento humano. Después de terminar la tarea, me dispuse a colorear el dibujo que había hecho en cartulina de un exágono (fig. 2A). Con una regla uní los vértices opuestos de modo que se formaron los seis triángulos equiláteros (fig. 2B). A continuación tomé un compás y tracé en el centro del exágono un círculo (fig. 2C). Pensé que era gracioso cómo se veía el círculo dentro del exágono, ya qué, el exágono es una figura que se construye a partir de un círculo. Me quedé viendo la figura un rato y casi impulsivamente tomé las tijeras y recorté cada uno de los seis triángulos. Volví a unir los triángulos para formar el exágono, pero cuidé muy bien de poner en el centro vértices en blanco, de modo que ahora pude dibujar en medio un pequeño exágono (fig. 2D). Nuevamente reacomodé los seis triángulos, dejando los vértices blancos en el centro, donde dibujé una estrella (fig. 2E).


 
Fig. 2
 
Exágono Polivariante
 
Todo fue sumamente rápido y sencillo. Próxima a cumplir trece años, me había involucrado sin proponérmelo, en el inquietante mundo de las transformaciones (espacios polivariantes). A partir de un mismo modelo físico, podía obtener otros dos que representaban o significaban figuras completamente diferentes. Sentí en ese momento un gran deseo de mostrarle mi modelo a alguien. Julia, mi nana, que siempre me decía: ¿qué haces mi niña? Cuando me veía muy concentrada en alguna cosa. Se me acercó y me dijo la consabida pregunta: Yo le respondí, unas figuras mágicas. ¿Y porqué son mágicas? Porque cambian de forma. A ver, enséñame.

Julia tomó con sus manos regordetas los seis triángulos y preguntó: ¿qué hay que hacer? Junta los triángulos de manera que se unan de esta forma, le señalé un exágono, pero fíjate que en el centro se forme una figura regular. ¿Cómo que regular? Qué tenga todos sus lados iguales. ¡Ah! ¿Voy bien? No, este lado es diferente. Tienes razón… ummm... ¿Y ahora? Ya vas mejor. No pasó mucho rato cuando le dije aplaudiendo de gusto, muy… muy… bien Julia, ya tienes el círculo, ahora has otras dos. Mi nana que había estado de pie, se sentó cómodamente en una silla y continuó moviendo los triángulos con tal seriedad que no pude evitar sentirme importante. Finalmente formó el exágono. Yo estaba muy emocionada al verla mover con tanto entusiasmo los pequeños triángulos, hasta que sonó el timbre de la casa, era don Gonzalo, el señor que nos surtía huevos, leche y queso tres veces a la semana. Como Julia se entretuvo en la cocina, yo recogí mis cosas y me fui a brincar a la cuerda en el patio.

Más tarde entré a la cocina y le dije a Julia que me sirviera un poco de leche tibia con un pan. Aquí tienes mi niña, me dijo. Me le quedé viendo con gran cariño, no podía olvidar sus bondadosos cuidados que me había brindado durante más de seis meses, cuando sufrí esa extraña enfermedad justo cuando recién había cumplido diez años. Un día amanecí con un dolor muy fuerte en la ingle de la pierna derecha, ese día no fui al colegio. Al día siguiente tenía las dos piernas muy adoloridas y no podía sostenerme de pie. Mi mamá llamó al médico quién después de verme muy concienzudamente, le dijo: no creo que sea parálisis infantil, pero tenemos que estar atentos, por lo pronto debe tomarse estas medicinas.

Una semana después de tener las piernas completamente debilitadas, mis manos y mis brazos habían comenzado a hacer movimientos incontenibles y desordenados. Cada día la enfermedad iba deteriorando más mis extremidades al grado de no poder controlar los movimientos de mi cuerpo. Un par de semanas después, mi cara estaba afectada por convulsiones y muecas repentinas que me imposibilitaban para poder hablar y comer. Días más tarde perdí la capacidad de emitir cualquier sonido voluntario y en tan sólo un mes estaba convertida en un lamentable y horroroso títere desarticulado.

Mis padres estaban devastados porque el médico les había dicho que padecía la enfermedad de Huntington, vulgarmente conocida como mal de San Vito. El diagnóstico no era nada alentador, ya que se esperaba que tuviera trastornos cognoscitivos y psiquiátricos. Y posiblemente una muerte temprana. Durante esos meses mis papás iban a verme poco y mis hermanos cuando lo hacían, le preguntaban a mi nana si yo estaba ¡…! no pronunciaban la palabra, sino que hacían una seña con su dedo índice moviéndolo en la frente.

Yo conservo aún en mi memoria, el dolor físico de esa enfermedad, sin embargo, puedo asegurar que jamás perdí mi capacidad de pensar ni de coordinar lógicamente mis ideas, lo que sí puedo decir, es que en esa época mi imaginación se desbordó a tal grado, que en muchas ocasiones tuve sueños verdaderamente extraños y hermosos, muy vívidos, coloridos e incomprensibles. Las ensoñaciones de mi fantasía me recuerdan mucho a los cúmulos de las galaxias que todos podemos observar hoy en día, en cualquier fotografía de la NASA. Fue una época de gran silencio y soledad, pero también fue una época en la que llegué a sentirme inmensamente feliz.

Gracias a mi nana, sobreviví la parte física de la enfermedad, ella se las ingenió para que yo comiera los pocos alimentos que lograba introducir en mi boca. Me bañaba a diario en la tina, primero con agua caliente y luego con agua fría, me administraba a tiempo todos mis medicamentos, masajeaba todo mi cuerpo y me cantaba canciones para que yo me pudiera dormir. A ratos me abrazaba muy fuerte y se quedaba viendo fijamente a mis ojos y me decía: mi niña, yo sé que tu me escuchas y me entiendes, ¿verdad? las dos sabemos que te vas a poner bien.

Seis meses después la enfermedad se fue lentamente como llegó, tardé algunos meses en poder caminar sin caerme a cada rato, porque estaba aún muy débil y mi cuerpecito había quedado prácticamente en los huesos. Cuando volví al colegio, me puse al corriente de mis materias y por mi empeño y el afecto que me tenían las monjas no perdí el año escolar.

¡Me falta una figura! me dijo Julia. Corrí por los triángulos y nos quedamos en la mesa de la cocina hasta que finalmente encontró la estrella.

Además de las 3 figuras que he mostrado en la figura 2 de mi Exágono Polivariante (C, D y E) se pueden formar otras 2 que también son figuras regulares. ¿Puedes encontrarlas?

martes, 18 de diciembre de 2012

NÚMEROS CIRCULARES



FRAGMENTO DE MIS MEMORIAS DE INFANCIA PARA EL EBOOK EN PREPARACIÓN: “HACIA LA CREATIVIDAD CUÁNTICA”

…(Julio de 1958, a la edad de 12 años) Unas semanas después iniciaron mis vacaciones escolares. Como mi papá era librero, por esas fechas solía llevarme a la editorial. Presentía, como siempre me ha ocurrido cuando voy a tener un evento favorable, que ese día me estaba esperando una gran sorpresa. Recuerdo que siempre antes de entrar en la librería, me quedaba en la calle observando detenidamente cada uno de los dos enormes escaparates. No tardé en descubrir el libro que me estaba esperando. Era un compendio de la Historia de las Matemáticas editado en dos tomos bellamente encuadernados en color vino oscuro. Minutos después me encontraba sentada en la gran sala de juntas, rodeada de una pequeña pero importante colección de pinturas y un suave aroma embriagador, que seguramente emitían los muebles de caoba cuidadosamente lustrados.

Durante más de un mes tuve oportunidad de hojear los libros y tomar apuntes, y por supuesto copiar una gran cantidad de ilustraciones a lápiz muy esquemáticas. Pronto mi carpeta de “Apuntes Importantes” como la había titulado, estaba llena de nombres de ilustres matemáticos que habrían de acompañarme durante muchos años de mi vida. Así aprendí a admirar a Pitágoras, Eudoxio, Euclides etc. A esa edad en que las niñas casi adolescentes jugaban a las muñecas yo devoraba libros que me transportaban al mundo de las ideas de los “Sacerdotes egipcios que dedicaban su tiempo en especulaciones matemáticas, mientras que Herodoto asumía que las matemáticas son la suma y la síntesis de las Enseñanzas Secretas sobre el Hombre y la Naturaleza”. Y como ciertamente no entendía ninguna de esas palabras, más volaba mi imaginación que se iba desbocando en dibujos extraños que para mí eran lo suficientemente comprensibles.

Los números figurados Pitagóricos (ver fig. 1) me inquietaron durante mucho tiempo en mi niñez y mi adolescencia. El suficiente para suponer que todas las cosas podían ser representadas por números.

 
fig. 1 

Pasó cierto tiempo para que pudiera asimilar la visión fundamental de Pitágoras, que asumía el universo como un cosmos, como un todo ordenado armoniosamente, y que el destino del hombre consistía en considerarse a sí mismo como una pieza de este cosmos, donde debía descubrir su propio lugar manteniendo la armonía debida de acuerdo al orden natural de las cosas.

Y como todo era número, según lo había entendido en aquel tiempo, me di a la tarea de discurrir una figura que me permitiera en primer lugar hacer la secuencia numérica del 1 al infinito. Y digo al infinito, porque esa era una palabra nueva para mí, y además tenía un símbolo muy bonito que yo solía poner en la mayoría de mis dibujos. Aunque no entendía mucho su significado, supuse que el infinito sería siempre cualquier número X+1. Al menos me funcionaba muy bien cuando jugaba con mi mejor amigo imaginario, al juego de quién decía, el número más grande, yo siempre decía: el número que tu digas más uno. Lo cierto es que en ese tiempo yo estaba muy lejos de imaginar que existían números inconcebiblemente grandes como el número Pi, que no tardó en aparecer en la incansable curiosidad de mi infantil existencia.

Observando detenidamente los números cuadrados y triangulares de la figura anterior, pensé que no me quedaba más remedio que concentrarme en la construcción de los números circulares, porque en ese tiempo, de las cinco figuras regulares, yo sólo conocía el cuadrado, el triángulo y el círculo.

Lo primero que hice fue trazar círculos concéntricos, después de esto pensé que aparecerían de inmediato los números circulares, pero no ocurrió así de fácil. Los círculos concéntricos no tenían puntos de referencia, esquinas o vértices, como los cuadrados o los triángulos. Entonces yo me preguntaba, tumbada en el piso donde tenía una caja de colores y mi inseparable libreta: ¿En donde pondré los puntos para que puedan dar forma a los números circulares? Lo primero que se me ocurrió fue poner un punto rojo en cualquier lugar de cada círculo, pero esto no resolvía el problema, así que me valí de un artificio bastante sencillo pero realmente muy funcional. Tracé una recta uniendo todos los círculos y en cada intersección puse un punto rojo (fig. 2A)

  
fig. 2

Descubrí que con los números circulares sólo podía representar la serie de los números naturales. Eso era bueno y malo, bueno porque había encontrado algo, y malo porque no había encontrado lo que yo estaba buscando.

Pasaron algunos días, era domingo y en casa habían preparado por primera vez caracoles horneados en salsa con mantequilla. Platillo que hasta la fecha me encanta. Cuando terminamos de comer recogí de los platos las conchas de los caracoles, los lavé cuidadosamente y los puse en una caja. Más tarde volví a mi dibujo de círculos concéntricos. Observaba detenidamente la perfecta concha de un caracol, cuando se me ocurrió hacer el dibujo B, tal cual se ve en la figura 2. Me puse muy contenta porque pensé que había avanzado algo, no mucho, pero al menos me quedaba muy claro que con este nuevo trazo se justificaba el crecimiento de los números naturales hasta el infinito.

Como siempre he sido “colorista”, es decir, me encanta llenar de color algunos espacios de mis dibujos, iluminé de azul algunos segmentos del dibujo B, después de iluminarlo, descubrí que de esta manera el dibujo C se parecía más a la concha de un caracol. Se había hecho tarde, así que guardé la caja de los caracoles, los colores y mi libreta en un rincón del closet como siempre solía hacerlo y me dispuse tranquilamente a dormir.

No puedo decir que esa noche tuve el mejor sueño de mi vida, pero si uno de los mejores. Soñé que me encontraba sentada en el centro del caracol que había dibujado. Estaba jugando a la matatena (jacks) y cuando estaba próxima a tomar de un solo golpe los diez jackses metálicos, perdí el control de la pelota que se fue rodando hasta llegar a una puerta. Me sorprendió mucho la presencia de un postigo en ese lugar, porque en mi dibujo yo no había cerrado el acceso en ninguno de los diferentes niveles del caracol.

Tomé la manija y abrí lentamente la puerta. Inmediatamente advertí una escalera que bajaba, descendí hasta llegar a otra puerta, que después de abrirla, vi que continuaba la escalinata que conducía a una tercera puerta y así hasta que me cansé de bajar tantas escaleras y de abrir tantas puertas. También me dí cuenta, que mientras más bajaba, más larga era la escalinata que remataba en una puerta diferente.

Pasaron algunos días cuando volví a retomar mis dibujos del caracol, me sentía muy decepcionada porque no había resuelto el reto de los números circulares, y el sueño me había angustiado bastante. En ese momento entró mi hermana Tere a la habitación y me dijo que si jugábamos matatena, acepté con agrado porque casi siempre le ganaba. Pero ese día me encontraba muy distraída y mi juego resultó deplorable, montones de veces me tuve que parar por la pelota. En una ocasión la arrojé con tal fuerza que se salió de la recámara y se fue dando tumbos por toda la escalera. Rescaté la pelota en la planta baja de la casa y cuando llegué a la habitación mi hermana ya se había ido.

  Sentí extrañamente que ese momento ya lo había experimentado antes. Baje y subí las escaleras de la casa varias veces, sólo que en la última vez conté cuidadosamente los escalones. Con una enorme sonrisa en el rostro, me dirigí al lugar donde había dejado la libreta y dibujé los escalones tal cual lo había soñado. Los conté uno a uno y anoté con gran orgullo mis números circulares, aunque dudé si debía llamarlos así, finalmente puse una nota en la página y la subrayé con rojo: “Números circulares derivados de una concha de caracol” (fig. 3)


fig. 3

Existen muchas formas de crear números figurativos, ciertamente resultan muy interesantes este tipo de números cuando son proyectados en la tercera dimensión. Interesante ¿verdad? ¡Vale la pena intentarlo!