CAMINO DE PIEDRAS

ENIGMA

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Esta historia ocurrió en un olvidado lugar, donde el arco iris solía posarse en los campos de trigo, en los tiempos lluviosos del otoño.
Como todos los días, el viejo Járkov, algunos campesinos y su bella hija labraban los campos de cereal. En los últimos años las cosechas habían sido diezmadas por terribles sequías, plagas e inundaciones y la familia de Járkov se había endeudado considerablemente con el rey de la comarca.
Piotr Ivano, un soberano cruel y senil solicitó la presencia de Járkov y su bella hija en los jardines de su reino, para llegar a un justo acuerdo con el que se pudiera saldar la fatigosa deuda de una vez por todas.
-Járkov –dijo el rey- Tu deuda asciende a cifras exorbitantes y harían falta diez años de benéficas cosechas para que pudieras pagarme.
-Lo sé amo, pero las inclemencias del tiempo y los estragos de las plagas me persiguen sin tregua.
-Me da pena tu mala suerte y para que veas que soy sincero quiero proponerte un buen arreglo. El campesino abrió los ojos y puso toda su atención en lo que iba a decir el rey.
-¿Ves este camino tapizado de piedras blancas y piedras negras? –Pregunto con tono solemne el soberano. Járkov asintió con la cabeza mientras su hija veía con tristeza las manos temblorosas de su padre.
-Bien, tomaré una piedra blanca y una piedra negra, ambas las depositaré en este saquito y tu hermosa hija con los ojos vendados sacará una. Si la piedra que ella saque es blanca, toda tu deuda quedará saldada y tu serás el único dueño de las tierras que cultivas. Después de escuchar esta palabras Járkov y su hija se tomaron de la mano y se vieron fijamente a los ojos dedicándose una amplia sonrisa.
-Pero si tu hija –continuó el rey- Saca una piedra negra, deberá casarse de inmediato conmigo y tu deuda por supuesto quedará saldada además de convertirte en el único propietario de tus tierras de labranza. Al escuchar la segunda parte del sorpresivo convenio del rey, Mireya soltó la mano de su padre dejando escapar un suspiro que le recordó a Fiodor quien era además de su amado, su prometido.
-Como ves, mi trato es justo y benévolo contigo –dijo el rey satisfecho de su gran generosidad. En ese momento el monarca frente a su numerosa comitiva avanzó unos pasos por el camino cubierto de piedrecillas, Mireya no le apartaba la vista y vio horrorizada como el rey tomaba dos piedras negras y con gran desenfado y sin escrúpulos las colocaba dentro del saquito.
-Ahora deberás sacar una piedra –le dijo el monarca a la joven acercándole el talego mientras una doncella le vendaba los ojos. Mireya en un impulso de rabia incontenible estuvo a punto de poner en evidencia al rey, pero en ese momento sintió el saquito entre sus manos y no le quedó más remedio que sacar una piedra.

Amable lector ¿Podría usted terminar esta historia? ¿Qué haría si fuera Mireya? ¿Cómo supone que pudo haber salido bien librada de este tremendo lío? Recuerde que debe sacar una piedra del saquito y que debe someterse a cualquiera de las dos sentencias.

Adaptación de un texto original publicado en la revista Cacumen

CUADRADOS MÁGICOS Y DIABÓLICOS

¿Quién no ha sido alguna vez víctima del irresistible encanto de los cuadrados mágicos?

Antiguamente se atribuían al arreglo de ciertos números propiedades cabalísticas y era muy natural que vieran cualidades mágicas en la especial característica que poseen estos cuadrados. ¿Pero que es un cuadrado mágico? Es un cuadro divido en secciones cuadradas idénticas en las cuales en cada una se coloca un número comenzando con el uno, hasta llenar todas las secciones sin que falte ni se repita ningún número. El orden de los números dentro del cuadrado debe ser tal que siempre se obtenga la misma suma en cada fila, en cada columna y también en cada diagonal.

Los matemáticos Chinos que vivieron 45 siglos antes de Mahoma, ya los conocían. Los antiguos magos de Persia pretendieron curar aplicando un cuadrado mágico en la parte enferma, siguiendo el conocido principio: “Primum non nocere” Lo primero ante todo es no hacer daño.

Según una leyenda China al desbordarse el río Lo, la gente intentó aplacar la ira de las aguas haciendo una ofrenda al dios del río, sin embargo cada vez que ponían la ofrenda una extraña tortuga se aproximaba al lugar sin que ésta la advirtiera. Por fortuna un joven se acercó a la tortuga y descubrió que en su caparazón tenía unas marcas especiales. Observó con detenimiento los signos que incluyeron en su ofrecimiento con el número 15, ya que consideraron que ésta era la cantidad de ofrendas solicitada por la deidad, quedó así el dios satisfecho y después de esto, volvieron a su cause normal las aguas.

El ordenamiento de los números encontrados en el caparazón de la tortuga pertenecen a un sencillo cuadrado mágico de orden 3, es decir de tres cuadros por lado. Tanto las líneas horizontales, como las verticales y las diagonales suman 15. Esta clase de combinaciones numéricas también han sido ampliamente descubiertas en la cultura de los egipcios, árabes, indios y griegos, quienes invariablemente les atribuyeron a los cuadrados mágicos propiedades astrológicas y adivinatorias que frecuentemente solían grabar en imágenes y talismanes.

Los cuadrados mágicos formaron y siguen siendo parte del regocijo y quehacer cotidiano que muchas veces con carácter científico, ha atrapado la atención de grandes matemáticos que dedicaron obras enteras al arreglo de estos curiosos números. Entre ellos se pueden citar a Fermat, Leibnitz, Pascal y Euler entre los más conocidos. De tal modo, es en el terreno de las matemáticas donde el cuadrado mágico constituye una curiosa particularidad. Cuando un cuadrado mágico presenta ciertas características como, por ejemplo, ser susceptible de descomposición en varios cuadrados mágicos, lleva el nombre de hipermágico. Entre los cuadrados hipermágicos se pueden citar los diabólicos. Así se denominan los cuadrados que continúan siendo mágicos cuando trasladamos una columna que se haya a la derecha hacia la izquierda, o cuando pasamos una línea de abajo hacia arriba o viceversa.

De forma accidental descubrí los cuadrados mágicos en un hermoso libro titulado El hombre que calculaba de Malba Tahan, quién narra de la manera más bella y sencilla la interesante vida del calculador Beremiz Samir, en el cuál nos maravilla con sus cuentos y enredos de problemas matemáticos que son un verdadero monumento a la cultura árabe. Y justo en la página 97 de ese libro, vi por primera vez un cuadrado extraordinariamente mágico y bellamente diabólico. A partir de ese momento mi hallazgo se convirtió en un reto, porque a decir verdad, lo más fascinante de los cuadrados mágicos es el desafío que implica construir uno propio, ya que se dice que el valor característico del cuadrado se acrecienta notablemente. Así que me propuse diseñar con gran paciencia el mío, después de un par de semanas de intentos fallidos encontré mi primer cuadrado mágico. (observe que tanto las filas, columnas, diagonales, las cuatro esquinas, los cuatro números del centro, los cuatro números de cada esquina y otras tantas combinaciones más suman 34)

Supuse que después de este feliz hallazgo podría descansar un poco de mi obsesión por estos números, sin embargo, no fue así, pues descubrí con pesar que mi cuadrado mágico, era simplemente mágico. En ese momento me pregunté si habría sólo una solución que lo caracterizara como diabólico. Me intrigaba en lo profundo como una persona tan remota, seguramente tan misteriosa como el cuadrado mágico, hubiera llegado a tan excelsa combinación y armonía numérica. Sin encontrar respuesta a mis preguntas me quedé viendo fijamente la figura del cuadrado diabólico de la página 97. Al principio los números no me decían nada parecían como si hubiesen sido colocados sin guardar entre ellos relación alguna, más al poco rato, una sensación de “tono” saltó a la vista. Pares de números “pesados” (color amarillo) guardaban equilibrio alternado con pares de números “ligeros” (color azul) de tal forma que si los números fueran estructuras geométricas, éstas quedarían entrelazadas magnéticamente en una estrecha unidad integradora. Así apareció ante mí el cuadrado de oscuro origen y remotas propiedades cabalísticas.

De inmediato procedí a analizar el valor numérico y sus relaciones de equilibrio entre ellos. Descubrí que tanto el acomodo de los pares de números ligeros con el de los pares de números pesados se presenta tanto horizontal como verticalmente de forma alternada en ambas direcciones, con lo cual se establece una estrecha e inquebrantable simetría de valor unificadora. Esto es más fácil suponerlo si nos olvidamos por un momento del valor numérico del cuadrado, y pensamos que los pares de números son piezas independientes factibles de ensamblarse. O mejor aún, pensemos que los pares de números son colores, esto quiere decir que necesitaremos cuatro colores diferentes para colorearlos. Al observar el cuadrado coloreado bajo estas condiciones nos percatamos que se ha establecido un equilibrio dinámico entre las secciones coloreadas y por si fuera poco, si trazáramos rectas imaginarias uniendo los opuestos simétricos veríamos que todas las líneas pasan por el centro. Número y color, en ambos casos, fundamentan el equilibrio dinámico e integrador de la magia del diabólico cuadrado.

Con estas sencillas observaciones que se convirtieron en valiosas pistas me fue posible encontrar mi propio cuadrado hipermágico, el cual he pintado en un cuadro que conservo en mi casa, para disfrute de quienes me visitan y me preguntan sobre el significado de ese cuadro.

Con el tiempo me hice experta en cuadrados mágicos e hipermágicos lo que me permitió diseñar algunos sistemas gráficos bastante sencillos para construirlos.

Si usted amable lector/ra tiene un rato de ocio y le gustan estos enigmas, lo invito a encontrar el cuadrado mágico diabólico de las cinco vocales, como verá aquí no se requiere sumar nada, solo es necesario hacer un cuadro de cinco por cinco cuadros y colocar en cada fila, horizontal y vertical las cinco vocales sin que falte ni se repita ninguna.

Hay 32 secuencias lógicas de arreglo en este cuadrado: 5 verticales, más 5 horizontales, más 2 diagonales, más las cuatro esquinas y el centro, mas otras tantas que estoy segura usted sabrá encontrar. Qué lo disfrute y le traiga bienestar y mucha alegría.